Prove That$\frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 8 } + \cdots + \frac { n } { 2 ^ { n } } = \frac { 2 ^ { n + 1 } - 2 - n } { 2 ^ { n } }$

Question

Examlex · Accepted Answer

The Answer is P(1):

\frac { 1 } { 2 } = \frac { \left( 2 ^ { 2 } - 2 - 1 \right) } { 2 ^ { 1 } }

which is true since the right side is equal to 1/2 .

P ( k ) \rightarrow P ( k + 1 ) : \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 8 } + \cdots

+

\frac { k + 1 } { 2 k + 1 } = \frac { 2 ^ { k + 1 } - 2 - k } { 2 ^ { k } } + \frac { k + 1 } { 2 ^ { k + 1 } } = \frac { 2 ^ { k + 2 } - 4 - 2 k + k + 1 } { 2 k + 1 } = \frac { 2 ^ { k + 2 } - 3 - k } { 2 ^ { k + 1 } } = \frac { 2 ^ { k + 2 } - 2 - ( k + 1 ) } { 2 ^ { k + 1 } }

Prove That $\frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 8 } + \cdots + \frac { n } { 2 ^ { n } } = \frac { 2 ^ { n + 1 } - 2 - n } { 2 ^ { n } }$

Definitions:

Prove That 12+24+38+⋯+n2n=2n+1−2−n2n\frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 8 } + \cdots + \frac { n } { 2 ^ { n } } = \frac { 2 ^ { n + 1 } - 2 - n } { 2 ^ { n } }21​+42​+83​+⋯+2nn​=2n2n+1−2−n​

Definitions:

Prove That $\frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 8 } + \cdots + \frac { n } { 2 ^ { n } } = \frac { 2 ^ { n + 1 } - 2 - n } { 2 ^ { n } }$