The Fourth Order Runge-Kutta Method for Solving Is
A) Where $m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)$

question 1

Multiple Choice

The fourth order Runge-Kutta method for solving $y ^ { \prime \prime } = f \left( x , y , y ^ { \prime } \right) , y \left( x _ { 0 } \right) = y _ { 0 } , y ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = u _ { 0 }$ is

• A) \(\begin{array} { l }
• y _ { n + 1 } = y _ { n } + h \left( m _ { 1 } - 2 m _ { 2 } + 2 m _ { 3 } - m _ { 4 } \right) / 6 , \\
• u _ { n + 1 } = u _ { n } + h \left( k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } - k _ { 4 } \right) / 6
• \end{array}\)
• where \(m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)\),
• \(\begin{array} { l }
• m _ { 2 } = u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 , k _ { 2 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 1 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 \right) \\
• m _ { 3 } = u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 , k _ { 3 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 2 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 \right) \\
• m _ { 4 } = u _ { n } + h k _ { 3 } , k _ { 4 } = f \left( x _ { n } + h , y _ { n } + h m _ { 3 } , u _ { n } + h k _ { 3 } \right)
• \end{array}\)
• B) \(\begin{array} { l }
• y _ { n + 1 } = y _ { n } - h \left( m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + 2 m _ { 3 } + m _ { 4 } \right) / 6 , \\
• u _ { n + 1 } = u _ { n } - h \left( k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } + k _ { 4 } \right) / 6
• \end{array}\)
• where \(m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)\),
• \(\begin{array} { l }
• m _ { 2 } = u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 , k _ { 2 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 1 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 \right) \\
• m _ { 3 } = u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 , k _ { 3 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 2 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 \right) \\
• m _ { 4 } = u _ { n } + h k _ { 3 } , k _ { 4 } = f \left( x _ { n } + h , y _ { n } + h m _ { 3 } , u _ { n } + h k _ { 3 } \right)
• \end{array}\)
• C) \(\begin{array} { l }
• y _ { n + 1 } = y _ { n } + h \left( m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + 2 m _ { 3 } + m _ { 4 } \right) / 6 , \\
• u _ { n + 1 } = u _ { n } - h \left( k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } + k _ { 4 } \right) / 6
• \end{array}\)
• where \(m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)\),
• \(\begin{array} { l }
• m _ { 2 } = u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 , k _ { 2 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 1 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 \right) \\
• m _ { 3 } = u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 , k _ { 3 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 2 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 \right) \\
• m _ { 4 } = u _ { n } + h k _ { 3 } , k _ { 4 } = f \left( x _ { n } + h , y _ { n } + h m _ { 3 } , u _ { n } + h k _ { 3 } \right)
• \end{array}\)
• D) \(\begin{array} { l }
• y _ { n + 1 } = y _ { n } - h \left( m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + 2 m _ { 3 } + m _ { 4 } \right) / 6 , \\
• u _ { n + 1 } = u _ { n } + h \left( k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } + k _ { 4 } \right) / 6
• \end{array}\)
• where \(m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)\),
• \(\begin{array} { l }
• m _ { 2 } = u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 , k _ { 2 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 1 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 \right) \\
• m _ { 3 } = u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 , k _ { 3 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 2 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 \right) \\
• m _ { 4 } = u _ { n } + h k _ { 3 } , k _ { 4 } = f \left( x _ { n } + h , y _ { n } + h m _ { 3 } , u _ { n } + h k _ { 3 } \right)
• \end{array}\)
• E) \(\begin{array} { l }
• y _ { n + 1 } = y _ { n } + h \left( m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + 2 m _ { 3 } + m _ { 4 } \right) / 6 , \\
• u _ { n + 1 } = u _ { n } + h \left( k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } + k _ { 4 } \right) / 6
• \end{array}\)
• where \(m _ { 1 } = u _ { n } , k _ { 1 } = f \left( x _ { n } , y _ { n } , u _ { n } \right)\),
• \(\begin{array} { l }
• m _ { 2 } = u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 , k _ { 2 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 1 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 1 } / 2 \right) \\
• m _ { 3 } = u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 , k _ { 3 } = f \left( x _ { n } + h / 2 , y _ { n } + h m _ { 2 } / 2 , u _ { n } + h k _ { 2 } / 2 \right) \\
• m _ { 4 } = u _ { n } + h k _ { 3 } , k _ { 4 } = f \left( x _ { n } + h , y _ { n } + h m _ { 3 } , u _ { n } + h k _ { 3 } \right)
• \end{array}\)